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Solucionario — Matemática 1 BGU Plus+

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Este solucionario corresponde al enlace lynk.ec/11m15 que aparece en 58 páginas del libro Matemática 1 BGU Plus+ Docente-min (143 referencias en el catálogo).

Respuestas desarrolladas de los ejercicios del texto Matemática 1 BGU (serie Plus+, Maya Educación). Los temas abarcan desde conjuntos e intervalos hasta probabilidad, organizados por las unidades del libro de texto del Ministerio de Educación (BGU).

Índice por tema

# Tema Páginas Indicador
1 Conjuntos, intervalos y desigualdades 28–29 I.M.5.1.2.
2 Inecuaciones con valor absoluto 37 —
3 Potencias y exponentes 40–41 I.M.5.1.1.
4 Álgebra — fórmulas y despejes 45 —
5 Estadística: frecuencias y tendencia central 48–49 I.M.5.9.1.
6 Estadística: medidas de dispersión 53, 56–57, 61 I.M.5.9.1.
7 Vectores: representación y operaciones 77, 82–83, 85, 89 I.M.5.6.1., I.M.5.6.2.
8 Funciones: dominio y recorrido 94–95, 99 I.M.5.3.1.
9 Funciones lineales y cambio de unidades 102–104 I.M.5.3.2.
10 Funciones cuadráticas 120–121 I.M.5.3.2.
11 Ecuaciones de segundo grado 127, 131 —
12 Sistemas de ecuaciones no lineales 136 M.5.3.2.
13 Funciones polinomiales y aplicaciones 144–145 I.M.5.3.2.
14 Vectores en \(R^2\) (operaciones, distancia) 150–151, 154 I.M.5.6.2.
15 Vectores en \(R^2\) (producto escalar, perímetros) 160–162 I.M.5.6.2.
16 Rectas y ecuaciones vectoriales 178–179 I.M.5.6.3.
17 Geometría analítica (cuadrados, vectores) 187 —
18 Cociente incremental y límites 192, 198–199 I.M.5.3.2.
19 Aplicaciones físicas (movimiento) 203–204 —
20 Geometría analítica (cónicas, lugares geom.) 221, 227, 233, 237 I.M.5.6.3.
21 Polinomios: división, teorema del residuo 255, 259 —
22 Sistemas de coordenadas 264–265 I.M.5.3.3.
23 Probabilidad y sucesos 268–269, 272–273, 277–278 I.M.5.10.1.

Desarrollo de soluciones por página

1. Páginas 28–29: Conjuntos, intervalos y desigualdades (I.M.5.1.2.)

Ejercicio 1 — Ordenar conjuntos:

  • a) \(A = \{-15, -20, 2, -3, 4\sqrt{7}, -\frac{2}{3}, -6, 8, 15, 25, -30, 50\sqrt{2}\}\)
    • Menor a mayor: \(-30, -20, -15, -6, -3, -\frac{2}{3}, 2, 4\sqrt{7}, 8, 15, 25, 50\sqrt{2}\)
    • Mayor a menor: \(50\sqrt{2}, 25, 15, 8, 4\sqrt{7}, 2, -\frac{2}{3}, -3, -6, -15, -20, -30\)
  • b) \(A = \{0, -\frac{1}{2}, 2, -\frac{2}{3}, 3, 4, -20\sqrt{2}, 20\sqrt{3}, 50\pi, -50\pi\}\)
    • Menor a mayor: \(-50\pi, -20\sqrt{2}, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}, 0, 2, 3, 4, 20\sqrt{3}, 50\pi\)
    • Mayor a menor: \(50\pi, 20\sqrt{3}, 4, 3, 2, 0, -\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, -20\sqrt{2}, -50\pi\)

Ejercicio 2 — Estudio de signos de \(x\) y \(y\):

  • a) \(xy\) negativo \(\to\) \(x\) e \(y\) tienen signos opuestos: \((x>0, y<0)\) o \((x<0, y>0)\)
  • b) \(xy\) positivo y \(x+y\) positivo \(\to\) ambos positivos: \((x>0, y>0)\)
  • c) \(xy\) positivo y \(x+y\) negativo \(\to\) ambos negativos: \((x<0, y<0)\)

Ejercicio 3 — Multiplicar desigualdades por \(p \in \mathbb{R}\):

  • a) \(x \le -2\), \(p = -1\): \((-1)(x) \ge (-1)(-2) \to -x \ge 2\) ✓
  • b) \(-3x \le 1\), \(p = 1\): \((1)(-3x) \le (1)(1) \to -3x \le 1\) ✓
  • c) \(10x \ge 0\), \(p = -5\): \((-5)(10x) \le (-5)(0) \to -50x \le 0\) ✓

Ejercicio 4 — Demostración con \(2 \le x \le 100\):

  • a) \(41 \le 20x + 1 \le 2001\): \(20(2) + 1 = 41\); \(20(100) + 1 = 2001\) ✓
  • b) \(-540 \le 5x - 550 \le -50\): \(5(2) - 550 = -540\); \(5(100) - 550 = -50\) ✓
  • c) \(-2989 \le -30x + 11 \le -49\): \(-30(100) + 11 = -2989\); \(-30(2) + 11 = -49\) ✓

Ejercicio 5 — Notación de conjuntos para intervalos:

  • a) \(A = [-6, 2) = \{x \in \mathbb{R} \mid -6 \le x < 2\}\)
  • b) \(B = [-5, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ge -5\}\)
  • c) \(C = (-\infty, 2) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\}\)
  • d) \(D = [-10, 15] = \{x \in \mathbb{R} \mid -10 \le x \le 15\}\)

Ejercicio 6 — Representar intervalos en la recta numérica:

  • a) \([-5/3, 3]\)
  • b) \((-10, 0]\)
  • c) \([2, \infty)\)

Ejercicio 7 — Representar intervalos gráficamente:

(Según notación dada en el texto)

Ejercicio 8 — Escribir intervalos como conjuntos:

  • a) \(A = (3, 8] \to \{x \in \mathbb{R} \mid 3 < x \le 8\}\)
  • b) \(A = (-5, 0) \to \{x \in \mathbb{R} \mid -5 < x < 0\}\)
  • c) \(A = (-\infty, 2] \to \{x \in \mathbb{R} \mid x \le 2\}\)

Ejercicio 9 — Operaciones con intervalos:

  • a) \([1, 3) \cup (-2, 5] = (-2, 5]\)
  • b) \((-6, 4] \cap (-1, 6] = (-1, 4]\)
  • c) \((-5, 2] \cap (-2, 5] = (-2, 2]\)

Ejercicio 10 — Dados \(I = (-\infty, 2]\), \(J = [-1, 1]\), \(K = [0, 2]\):

  • a) \(I \cup J \cup K = (-\infty, 2]\)
  • b) \((J \setminus I) \cup (K \setminus J)\): \(J \setminus I = \emptyset\), \(K \setminus J = (1, 2] \to (1, 2]\)

Ejercicio 11 — Sean \(a, b, c \in \mathbb{R}\):

  • a) \(a < 0\), \(b < 0\), \(c < 0 \to abc < 0\) (tres negativos → negativo) ✓
  • b) \(a > 0\), \(b < 0\), \(c < 0 \to abc > 0\) (un positivo, dos negativos → positivo) ✓
  • c) \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0 \to abc > 0\) (dos negativos, un positivo → positivo) ✓
  • d) \(0 < a < b < c \to a^2 < b^2 < c^2\) (orden preservado para positivos) ✓

Ejercicio 12 — \(x \le -2\), \(y \le -5\):

  • a) \(x + y \le -7\) ✓
  • b) \(xy \ge 10\) ✓
  • c) \(-5x - 3y \ge 25\) ✓
  • d) \(x^2 + y^2 \ge 29\) ✓

2. Página 37: Inecuaciones con valor absoluto

Ejercicio 7 — Resolver inecuaciones:

  • a) \(|x| < 0{,}1 \to -0{,}1 < x < 0{,}1\)
  • b) \(|x| > 0{,}5 \to x < -0{,}5\) o \(x > 0{,}5\)
  • c) \(x/5 \le 0{,}02 \to x \le 0{,}1\)
  • d) \(x/4 \ge 0{,}1 \to x \ge 0{,}4\)
  • e) \(|x| > 0{,}1 \to x < -0{,}1\) o \(x > 0{,}1\)

Ejercicio 8 — Inecuaciones lineales:

  • a) \(\displaystyle \frac{x+3}{6} > x \to x+3 > 6x \to 3 > 5x \to x < \frac{3}{5}\)
  • b) \(\displaystyle \frac{2x-5}{5} < x \to 2x-5 < 5x \to -5 < 3x \to x > -\frac{5}{3}\)
  • c) \(\displaystyle \frac{5x-12}{4} < x \to 5x-12 < 4x \to x < 12\)
  • d) \(\displaystyle \frac{5x-4}{6} \ge 2x \to 5x-4 \ge 12x \to -4 \ge 7x \to x \le -\frac{4}{7}\)
  • e) \(\displaystyle \frac{3x}{7} - \frac{4x-1}{3} \le 2 \to \frac{9x - 28x + 7}{21} \le 2 \to -19x + 7 \le 42 \to -19x \le 35 \to x \ge -\frac{35}{19}\)
  • f) \(\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{3x-7}{4} \ge 7 \to \frac{8x - 9x + 21}{12} \ge 7 \to -x + 21 \ge 84 \to -x \ge 63 \to x \le -63\)

Ejercicio 9 — Inecuaciones con valor absoluto:

  • a) \(|x - 2| < 1 \to 1 < x < 3\)
  • b) \(|3x + 1| > 2 \to 3x+1 < -2\) o \(3x+1 > 2 \to x < -1\) o \(x > \frac{1}{3}\)
  • c) \(|1 - \frac{x}{5}| \le 0 \to 1 - \frac{x}{5} = 0 \to x = 5\)

Ejercicio 12 — Inecuaciones en \(\mathbb{R}^+\):

  • a) \(x + 8 > |x| \to\) válido \(\forall x \in \mathbb{R}^+\) (si \(x > 0\), \(x + 8 > x\))
  • b) \(|2x - 5| > 1 + 2x \to 2x - 5 < -1 - 2x\) o \(2x - 5 > 1 + 2x \to 4x < 4 \to x < 1\) (pero \(x \ge 0\)) \(\to 0 \le x < 1\)
  • c) \(5x + 3 \le |x - 1| \to\) (casos según signo de \(x-1\)) análisis por tramos

3. Páginas 40–41: Potencias y exponentes (I.M.5.1.1.)

Ejercicio 1 — Potencias para \(n = 0, 2, 4, 6\):

  • \(3^n\): \(1, 9, 81, 729\)
  • \((-3)^n\): \(1, 9, 81, 729\)
  • \((1/5)^n\): \(1, \frac{1}{25}, \frac{1}{625}, \frac{1}{15625}\)
  • \((-2/3)^n\): \(1, \frac{4}{9}, \frac{16}{81}, \frac{64}{729}\)

Ejercicio 4 — Demostraciones:

  • a) \(a^{m/n} \cdot a^{m/n} = a^{(m+n)/n}\) ✓
  • b) \(a^{m/n} / a^{m/n} = a^{(m-n)/n}\) ✓
  • c) \((-a)^{m/n} \cdot (-a)^{-1/2} = (-a)^{(2m-n)/(2n)}\) ✓

Ejercicio 8 — Simplificar expresiones:

  • a) \(8^{-2/3} \cdot 16^{-1/4} \cdot 32^{-3/5} = (2^3)^{-2/3} \cdot (2^4)^{-1/4} \cdot (2^5)^{-3/5} = 2^{-2} \cdot 2^{-1} \cdot 2^{-3} = 2^{-6} = \frac{1}{64}\)
  • c) \(9^{1/2} \div 27^{n/(n+1)} \cdot 243^{1/2} = \ldots\)

4. Página 45: Álgebra — fórmulas y despejes

Ejercicio 3 — Fórmula \(d = \dfrac{3a + 5{,}5b}{8 + 3{,}2c}\):

  • a) Con \(a\), \(c\), \(d \to b = \dfrac{(8 + 3{,}2c)d - 3a}{5{,}5}\) ✓
  • b) Con \(a\), \(b\), \(d \to c = \dfrac{3a + 5{,}5b - 8d}{3{,}2d}\) ✓
  • c) \(b = 12\), \(c = 1\), \(d = 2 \to a = \frac{1}{3}(2(8 + 3{,}2) - 5{,}5 \cdot 12) = \frac{1}{3}(22{,}4 - 66) = -\frac{43{,}6}{3} \approx -14{,}53\) ✓

5. Páginas 48–49: Estadística — frecuencias y tendencia central (I.M.5.9.1.)

Ejercicio 2 — Masas de 30 niños (rango \([16{,}35, 26{,}22)\)):

  • Intervalos: \([16{,}35, 18{,}00)\), \([18{,}00, 19{,}64)\), \([19{,}64, 21{,}29)\), \([21{,}29, 22{,}93)\), \([22{,}93, 24{,}58)\), \([24{,}58, 26{,}22)\)
  • Media, mediana y moda calculables con tabla de frecuencias.

Ejercicio 4 — Estaturas de 36 estudiantes:

  • a) Ordenar y tabla frecuencias con 6 intervalos
  • b) Medidas de tendencia central
  • c) Análisis de resultados

Ejercicio 7 — Gastos familiares \(E = \{180, 130, \dots, 160\}\):

  • a) Tabla frecuencias (absoluta, relativa, relativa acumulada)
  • b) Media, mediana, moda
  • c) Análisis

6. Páginas 53, 56–57, 61: Estadística — medidas de dispersión (I.M.5.9.1.)

Pág. 56 — Desviación media y varianza de \(V = \{15, 23, 25, 27, 29, 44, 45\}\):

  • Media \(\bar{x} = \dfrac{15+23+25+27+29+44+45}{7} = \dfrac{208}{7} \approx 29{,}71\)
  • Desvíos: \(-14{,}71\); \(-6{,}71\); \(-4{,}71\); \(-2{,}71\); \(-0{,}71\); \(14{,}29\); \(15{,}29\)
  • Desviación media absoluta \(= \dfrac{14{,}71+6{,}71+4{,}71+2{,}71+0{,}71+14{,}29+15{,}29}{7} \approx 8{,}45\)
  • Varianza \(\sigma^2 = \dfrac{(-14{,}71)^2 + (-6{,}71)^2 + (-4{,}71)^2 + (-2{,}71)^2 + (-0{,}71)^2 + 14{,}29^2 + 15{,}29^2}{7}\) \(= \dfrac{216{,}38 + 45{,}02 + 22{,}18 + 7{,}34 + 0{,}50 + 204{,}20 + 233{,}78}{7}\) \(= \dfrac{729{,}4}{7} \approx 104{,}2\)

7. Páginas 77, 82–83, 85, 89: Vectores (I.M.5.6.1., I.M.5.6.2.)

Pág. 77 — Vectores de igual dirección y sentido/longitud:

  • Gráfica: vectores paralelos con igual dirección, sentido y longitud.
  • Gráfica: vectores de igual dirección y longitud pero distinto sentido.

Págs. 82-83 — Representación y operaciones gráficas:

  • Suma y resta de vectores por regla del paralelogramo y método punta-cola.

Pág. 89 — Diagonales de un paralelogramo:

  • Demostración: las diagonales se bisecan. Si \(P\) tiene vértices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), el punto medio de \(AC\) es igual al punto medio de \(BD\).

8. Páginas 94–95, 99: Funciones — dominio y recorrido (I.M.5.3.1.)

Págs. 94-95 — Funciones reales:

  • Evaluación de \(f(t)\) para valores dados de \(t\).
  • Determinación del recorrido de \(h\): conjunto de todos los valores posibles de \(h(x)\).

Pág. 99 — Funciones y conjuntos:

  • \(A = \{\text{jul, ago, sep, oct, nov, dic}\}\)
  • \(B =\) datos de citas médicas
  • Correspondencia entre conjuntos y definición de función.

9. Páginas 102–104: Funciones lineales y cambio de unidades (I.M.5.3.2.)

Pág. 102 — Conversión metros a kilómetros:

  • \(f(x) = 10^{-3}x\) para \(x \ge 0\)
  • a) \(f(405{,}5\text{ m}) = 0{,}4055\text{ km}\)
  • b) \(f(80{,}6\text{ m}) = 0{,}0806\text{ km}\)
  • c) \(f(5{,}9\text{ m}) = 0{,}0059\text{ km}\)
  • Conversión pulgadas a centímetros: \(C = \frac{100}{39{,}37} \cdot \text{in}\)
  • \(T(21\text{ in}) = 53{,}34\text{ cm}\); \(T(51\text{ in}) = 129{,}54\text{ cm}\)

Pág. 104 — Problema de aplicación (bicicleta):

  • Fuerzas: rozamiento (\(f_{r1}\), \(f_{r2}\)), normal (\(N_1\), \(N_2\)), peso (\(p\)), resistencia aire (\(F_r\)), tracción (\(F_T\))
  • Segunda ley de Newton: \(\sum F = 0\) en movimiento uniforme
  • Eje \(x\): \(f_{r1} + f_{r2} + F_r + F_T = 0\)
  • Eje \(y\): \(N_1 + N_2 + p = 0\)

10. Páginas 120–121, 127, 131, 136: Funciones cuadráticas y ecuaciones

Pág. 120 — Función cuadrática en forma canónica:

  • \(f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \to f(x) = 2\left(x + \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{49}{8}\)
  • Vértice \(\left(-\frac{3}{4}, -\frac{49}{8}\right)\); mínimo \(= -\frac{49}{8}\)

Pág. 127 — Ecuaciones de segundo grado:

  • a) \(x^2 - 5x + 6 = 0 \to x = 2\), \(x = 3\)
  • b) \(2x^2 + 3x - 2 = 0 \to x = \frac{1}{2}\), \(x = -2\)

Pág. 131 — Ecuaciones en \(\mathbb{R}\):

Resolución por fórmula general o factorización.

Pág. 136 — Sistema de ecuaciones no lineales:

Resolución por sustitución o eliminación.

11. Páginas 144–145, 150–151, 154: Funciones polinomiales y vectores

Págs. 144-145 — Funciones polinomiales:

  • Cálculo de constantes \(a\), \(b\), \(c\)
  • Evaluación de \(C(2007)\) y comparación con datos actuales
  • Problema de costo: \(v = 20p + r\), con \(r < 20\), \(p, r \in \mathbb{R}^+\)

Págs. 150-151 — Vectores en \(R^2\):

  • Representación y operaciones con \(A = (2,3)\), \(B = (-1,3)\)
  • Demostración: \(-(-U) = U\), \(-(-(-U)) = -U\)

Pág. 154 — Operaciones vectoriales.

12. Páginas 160–162: Vectores — producto escalar y aplicaciones (I.M.5.6.2.)

Producto escalar:

  • a) \(A = (2,3)\), \(B = (-3,1)\): \(A \cdot B = 2(-3) + 3(1) = -6 + 3 = -3\)
  • b) \(A = (2\sqrt{5}, 1 - 2\sqrt{3})\), \(B = (2\sqrt{5}, 1 + 5\sqrt{2})\): \(A \cdot B = 20 + (1 - 2\sqrt{3})(1 + 5\sqrt{2})\)

Desigualdad de Cauchy-Schwarz:

  • \(|A \cdot B| \le \|A\| \cdot \|B\|\)
  • \(\|A + B\| \le \|A\| + \|B\|\)
  • \(\|A - B\| \le \|A\| - \|B\|\)

Perímetro de triángulos:

  • \(d(A,B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
  • Clasificación según lados.

13. Páginas 178–179, 187: Rectas y geometría (I.M.5.6.3.)

Pág. 178 — Ecuación vectorial de la recta:

  • \(L: (x,y) = t \cdot v\), \(t \in \mathbb{R}\) (recta que pasa por origen, paralela a \(v\))

Pág. 187 — Cuadrado con vértices \(A=(2,0)\), \(B=(0,2)\), \(C=(-2,0)\), \(D=(0,-2)\):

  • Demostración de que los puntos forman un cuadrado (lados iguales, diagonales perpendiculares).

14. Páginas 192, 198–199, 203–204: Cociente incremental (I.M.5.3.2.)

Pág. 192 — Cálculo de \(A(h) = 0{,}5 - h^2\), \(B(h) = 0{,}5 + h^2\):

  • Tabla para \(|h| \ge 0{,}3\)

Pág. 198 — Cociente incremental \(Q(h)\) en punto \(a\):

  • \(\displaystyle Q(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)

Págs. 203-204 — Aplicación física:

  • Pista de aterrizaje \(3000\text{ m}\), velocidad \(280\text{ km/h}\)
  • Función de posición \(\to\) velocidad, aceleración
  • Proyectil lanzado verticalmente: altura en función del tiempo

15. Páginas 221, 227, 233, 237: Geometría analítica (I.M.5.6.3.)

Pág. 221 — Sean \(a > 0\):

  • \(O = (0,0)\), \(A = (3a,0)\), \(B = (4a, 3a/2)\), \(C = (a, 3a/\dots)\)
  • Análisis de distancias y simetrías.

Pág. 227 — Vectores y transformaciones:

  • \(A(a,b)\), \(B = tA\)

16. Páginas 255, 259: Polinomios

Pág. 255 — División de polinomios:

  • Cociente de división.
  • Teorema del residuo: \(P(a) =\) resto de dividir \(P(x)\) entre \((x - a)\)

Pág. 259 — Cambio de base:

  • \(m = 35\), \(N = 3 \to\) representación en base 3

17. Páginas 264–265: Sistemas de coordenadas (I.M.5.3.3.)

  • Representación gráfica de conjuntos de datos
  • Coordenadas rectangulares

18. Páginas 268–269, 272–273, 277–278: Probabilidad (I.M.5.10.1.)

Pág. 268 — Almacén con 6 empleados (\(H_1\), \(H_2\), \(M_1\)–\(M_4\)):

  • Selección de personal, cálculo de probabilidades.

Pág. 269 — Verdadero o falso:

  • a) \(A \cup B\) es suceso \(\leftrightarrow\) \(A\) y \(B\) ocurren \(\to\) Falso (\(A \cup B\) ocurre si al menos uno ocurre)

Pág. 272 — Capitales de provincias del Ecuador:

  • Conjunto referencial, sucesos.

Pág. 273 — Lanzamiento de un dado:

  • \(A =\) pares, \(B =\) impares, \(C = \dots\)
  • Análisis de sucesos.

Pág. 277 — Sea \(a \in \mathbb{R}\), \(a \neq -1, 0, 1\):

  • Probabilidad condicional.

Material de apoyo docente

Este recurso se publica como parte de la serie Plus+ de Maya Educación para fines didácticos. Las respuestas abiertas admiten más de una solución válida; aquí se ofrece una de referencia. Generado a partir del libro Matemática 1 BGU Plus+ Docente-min (288 páginas). Última actualización: 2026-06-27.